Matemática Média: Progressão Geométrica

1.0 - Introdução

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números onde cada termo (exceto o primeiro termo) é o resultado do produto do termo anterior com uma constante, chamada de razão.

2.0 - Tipos de PG

   Uma Progressão Geométrica (PG) pode ser dos seguintes tipos principais:

   (1, 2, 4, 8, 16...) → Crescente
   (16, 8, 4...)         → Decrescente
   (3, 3, 3, 3, 3,...) → Constante
   (1, -2, 4, -8,...)   → Alternante (nesse caso, razão = -2)

3.0 - Termos de uma PG

   Seja a PG: (1, 2, 4, 8, 16...)

   Chamamos de a₁, a₂, a₃, a_n o primeiro, segundo, terceiro e enésimo termo

   No exemplo acima, note que:

   a₁ = 1
   a₂ = 2
   a₃ = 4

   a_n pode ser qualquer termo que o problema quiser

   Razão (q) : valor multiplicado a cada termo anterior para obter o ermo posterior. No exemplo, a razão vale 2.

4.0 - Fórmula do Termo Geral

   Seja a PG: (1, 2, 4, 8, 16...)

   Note que a razão (q) vale 2. Note também que:

   a₂ = a₁ x q¹
   a₃ = a₁ x q²
   a₄ = a₁ x q³


a_n = a₁ x q^{(n -1)}


a_n = a_m x q^{(n -m)}


   Exemplo:

   Achar o número de termos da PG (1, 4, 16, ,..., 1024)

   Resolução:

   q = 4/1 = 4   a_n = 1024
   a₁ = 1
   n = ?

   a_n = a₁ x q^{(n -1)}
   1024 = 1 x 4^{n - 1}
   1024 = 4^{n - 1}
   2¹⁰ = 2^{2(n - 1)}
   10 = 2(n - 1)
   10 = 2n - 2
   12 = 2n
   n = 6

5.0 - Interpolação Geométrica

   Interpolar x meios geométricos entre dois termos significa descobrir esses mesmos termos de tal forma que toda a sequência seja uma PG.

   Interpole 2 meios geométricos entre 5 e 40.

   Resolução:


5 _ _ 40


   a₄ = 40   n = 4
   a₁ = 5
   q = ?

   a_n = a₁ x q^{(n -1)}
   40 = 5 x q^{(4 -1)}
   8 = q³
   q = 2

   (5, 10, 20, 40)

6.0 - Propriedade

   Numa PG, o termo médio é a média geométrica dos termos equidistantes.

   Exemplo: (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)




7.0 - Representações convenientes

   Em alguns exercícios é interessante reescrever a PG de outra forma.




8.0 - Produto




   Exercício:

   Calcule o produto dos termos da PG (1, 2, 4, 8, ... , 512)

   Resolução:




9.0 - Soma de PG constante
   Termos dois casos:

   Primeiro Caso: (0, 0, 0, 0, 0) → A soma é zero   Segundo Caso : (3, 3, 3, 3, 3) → Note que a soma = 3 x 8 = 24

   No segundo caso (onde a razão é 1), vale a regra:


S_n = n x a₁


10.0 - Soma de PG Finita (razão ≠ 1)




   Exercício

   Determine a soma dos seis primeiros termos de uma PG em que o sexto termo é 160 e a razão é igual a 2.



   11.0 - Soma de PG Infinita

   Uma soma INFINITA pode dar um valor FINITO?

   Sim! Quando a razão da PG está no intervalo -1 < q < 1 a PG apresenta soma FINITA (também chamada de série convergente)




   Exercício

   Determine a soma da PG:
(1, ½, ¼, ...)





   Exercício

   Determine a fração geratriz da dízima periódica 1,333333...

   Primeiro Passo: Note que 1,333... = 1 + 0,333...
   Segundo Passo : Note que 0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003...
   Terceiro Passo: Note que isso equivale a: (3/10, 3/100, 3/1000, ...)

   Exercício

   Na figura abaixo, os triângulos são equiláteros e inscritos no ponto médio dos lados dos triângulos imediatamente maiores numa sequência infinita. Determinar a soma de todos os perímetros sabendo que o maior triângulo tem lado igual a 3.




   Fonte: www.vestibulandia.com.br

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