Matemática Média: Progressão Aritmética

1.0 - Introdução

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde cada termo (exceto o primeiro termo) é resultado da soma do termo anterior com uma constante, chamada de razão.

2.0 - Termos de uma P.A.

   Seja a PA: (1,3,5,7,9...)

   Chamamos de a₁, a₂, a₃, a_n o primeiro, segundo, terceiro e enésimo termo.

   No exemplo acima, note que:

   a₁ = 1
   a₃ = 3
   a₅ = 5

   a_n pode ser qualquer termo que o problema quiser

   Razão(r): valor somado a cada termo anterior para obter o termo posterior.No exemplo, a razão vale 2.

3.0 - Fórmula do Termo Geral

   Seja a PA: (1,3,5,7,9...)

   Note que a razão(r) vale 2. Note também que:

   a₂ = a₁ + r
   a₃ = a₁ + 2r
   a₄ = a₁ + 3r

a_n = a₁ + (n -1)r


   também podemos utilizar:
   a_n = a_m + (n-m)r

4.0 - Exemplo

   Achar o número de termos da PA (1,4,7,10, ... , 109)

   Resolução:

   r = 4 - 1 (subtraimos um termo pelo seu imediamente anterior para achar a razão)
   a₁ = 1 (primeiro termo)
   a_n = 109 (último termo da PA)
   n = ? (vamos encontrar)

   a_n = a₁ + (n -1)r
   109 = 1 + 3n - 3
   n = 37

5.0 - Interpolação Aritmética

Interpolar x meios aritméticos entre dois termos significa descobrir esses mesmos termos de tal forma que toda a sequência seja uma PA.

   Interpolar 5 meios aritméticos entre -5 e 37

   Resolução:




   a_n = 37 (último termo da PA)
   n = 7 (verifique imagem logo acima para entendimento)
   a₁ = -5 (primeiro termo da PA)
   r =? (vamos achar)

   a_n = a₁ + (n - 1)
   37 = -5 + (7 - 1)r
   r = 7

   (-5, 2, 19 , 16, 23, 30, 37)

6.0 - Propriedade

Numa PA, o termo médio é a média aritmética dos termos equidistantes.

   Exemplo: (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)

7.0 - Representações convenientes

   Em alguns exercícios reescrever a PA de outra forma.

   PA de três termos: (a - r), a, (a + r)

   PA de cinco termos: (a - 2r), (a - r), a, (a + r), (a + 2r)

   Três números estão em PA, A soma deles é 21 e o produto, 315. Quais são os três números?

8.0 - Exercício 1

   Determine a quantidade de múltiplos de 13 entre 20 e 1000.

   Resolução:

   r = 13 (pois será a diferença que haverá de um número a outro)
   a₁ = 26 (o primeiro termo múltiplo de 13 maior que 20)
   a_n = 988 (pois o maior número múltiplo de 13 menor que 1000 é 988, para achálo é necessário dividir 1000 por 13, e o resultado, A PARTE INTEIRA, multiplicar por 13, VEJA IMAGEM ABAIXO)


   a_n = a₁ + (n -1)r
   988 = 26 + (n - 1)13

n = 75


9.0 - Exercício 2

   Determine a quantidade de múltiplos de 2 ou 3 entre 23 e 1001

   Resolução:



10 - Soma dos Termos de uma PA




   Exercício:




Fonte: www.vestibulandia.com.br

About Marcos Oliveira

This is a short description in the author block about the author. You edit it by entering text in the "Biographical Info" field in the user admin panel.