1.0 - Noção Intuitiva
Numa visão estremamente simplificada, o determinante é um número especial associado a uma tabela (matriz).
Os conceitos envolvendo determinantes irão permitir (no Ensino Médio):
→ A resolução de Sistemas Lineares
→ A obtenção de Inversas de uma Matriz
2.0 - Representações
Nota: Cuidado para não confundir com as notações já vistas em matrizes.
3.0 - Cálculo de uma Determinante
Só calculamos determinantes de matrizes quadradas (mesmo n° de colunas e linhas).
Ordem 1:
Quando tivermos um único elemento, o valor do determinante será o próprio elemento.
Ordem 2:
Quando tivermos uma matriz 2x2 , o valor da diagonal será o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.
Ordem 3:
Quando tivermos uma matriz 3x3 , poderemos resolver o determinante através da regra de Sarrus.
Ordem > 3:
Com exceção do escalonamento (método que aprendemos mais adiante numa aula especial), não existem muito práticos cálculo desses determinantes(ordem maior que 3). E não se esqueça: Nós só calculamos determinantes de Matrizes Quadradas.
4.0 - Menor Complementar
Menor Complementar (ou Matriz Complementar) é a matriz que se obtém ao eliminarmos a linha e a coluna de um elemento previamente escolhido.
5.0 - Cofator
O Cofator (também chamado de complemento algébrico) é defindo da seguinte forma:
6.0 - Teorema Fundamental de Laplace
Um determinante de uma matriz de ( no mínimo) ordem 2 é a soma dos podutos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
7.0 - Exemplo de Determinante de Ordem 4
Nota: Quanto mais zeros, mais fácil é o cálculo!
8.0 - Teorema de Jacobi
Você notou como é trabalhoso resolver determinantes de ordem maior que três, correto? O teorema de Jacobi facilita o cálculo desses determinantes.
Se somarmos a uma fila qualquer uma outra fila paralela que já tenha sido multiplicada por uma constante, o determinante não se altera.
Nota: Filas paralelas: duas ou mais linhas OU duas ou mais colunas.
Conclusão: Se conseguirmos "colocar muitos zeros" em uma coluna, nosso cálculo será mais fácil.
Agora veremos como aplicar o Teorema de Jacobi a outros Determinantes com "números ruins". Nota: Por comodidade vamos usar determinantes de ordem 3 , mas as mesmas técnicas podem ser utilizadas em determinantes de ordens maiores.
9.0 - Regra de Chió
Se uma determinante possuir pelo menos um elemento igual a 1 é possível fazer o abaixamento da ordem usando a regra de Chió.
E se não possuir nenhuma elemento igual a 1 ????
Use Jacobi e "consiga" um elemento igual a 1.
10.0 - Propriedades Importantes
Propriedade 1:
Se a matriz possui uma fila nula, seu determinante é zero.
Propriedade 2:
Se a matriz possui duas filas iguais, seu determinante é zero.
Propriedade 3:
Se uma fila estiver multiplicada por um número qualquer, então todo o determinante estará multiplicando por este número.
Nota: Isso também prova que determinante de matriz com fila nula vale zero (P1).
Propriedade 4:
Se toda a matriz A de ordem n estiver multiplicada por um número qualquer (k) então a seguinte relação é válida: |kA| = kn x |A|
Propriedade 5:
Se a matriz possuir duas filas proporcionais, seu determinante será zero.
Propriedade 6:
Se trocarmos 2 filas paralelas de lugar, o determinante também muda de sinal.
11.0 - Propriedades Adicionais
O determinante de uma matriz e sua transposta são iguais
|A| = |At|
Teorema de Binet: O determinante do produto é igual ao produto dos determinantes. (Desde que as matriz sejam quadradas e de mesma ordem, óbvio.)
|A x B| = |A| x |B|
11.1 - Soma de Determinantes:
Poderemos decompor um determinante na soma de outros dois determinantes desde que a soma de uma das filas correspodentes seja igual a do primeiro determinante e que as demais filas sejam iguais.
11.2 - Determinante de uma Matriz Diagonal
Em uma matriz Diagonal (Superior, Inferior ou ambas simultaneamente) o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Nota: Essa propriedade é essencial para aprendemos Determinantes por Escalonamento.
11.3 - Determinante de Vandermonde
É um determinante especial onde os termos estão em progressão geométrica.
Nota: As técnicas especiais de cálculos dos determinantes de Vandermonde SÓ VALEM para o determinante de Vandermonde.
12.0 - Determinante por escalonamento
Já aprendemos que:
Determinante de matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal principal.
Escalonar significa deixar o determinante "na forma de uma escada" contendo apenas zeros.
Se a matriz estiver escalonada:
O cálculo do determinante é imediato.
Primeiro Caso: ordem 2
13.0 - Considerações Finais
Fonte: www.vestibulandia.com.br
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