Matemática Média: Conjuntos e Conjuntos Numéricos

Conjunto é uma coleção de elementos . A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A .
Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

Importância

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Notação matemática

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de uma:

lista os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
definição de uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica);
representação gráfica.

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

$A=\left\{1, 2, 3 \right\}$

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:

$A=\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}$

Um conjunto ABCDEFGHIJ também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B³ . O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

$A= \left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}$

ou ainda:

$A= \left\{ x\,:\,x \mbox{ é um número natural tal que } 1 \le x \le 3 \right\}$

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Conceitos essenciais

Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se $a$ é um elemento de $A,$ podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \in A .$ Se $a$ não é um elemento de $A ,$ nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \not\in A.$

Subconjuntos próprios e impróprios

Ver artigo principal: Subconjunto

Se $A$ e $B$ são conjuntos e todo o elemento $x$ pertencente a $A$ também pertence a $B,$ então o conjunto $A$ é dito um subconjunto do conjunto $B,$ denotado por $A \subseteq B.$ Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( $A=B$ ). Se $A \subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B$ não pertence a $A,$ então $A$ é chamado de subconjunto próprio de $B,$ denotado por $A \subset B.$ Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

$A \subseteq B$

Conjunto vazio

Ver artigo principal: Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou $\emptyset.$
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade

Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\aleph_0$ (aleph-0), $\aleph_1, \aleph_2 ....$
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|.$ Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então $|A|=|B| .$

Conjunto potência ou de partes

Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado $A$ é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de $A,$ denotado por $P(A).$ O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é $2^n,$ ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a $2^n.$ Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto $\{0,1\}^A,$ é usual representar-se P(A) por $2^A.$
O Teorema de Cantor estabelece que $|A| < |P(A)|.$

Produto cartesiano

Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}.$

Operações com conjuntos

De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.

Operação	Operador	Definição	Exemplo
União	$\cup$	A união (ou reunião) de dois conjuntos $A$ e $B$ é o conjunto $A \cup B$ composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $A$ ou $B.$ A união de N conjuntos $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i$ é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $S_i.$ A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por $A \cup B=\{\forall x\|x\in A \or x\in B\}$	$A \cup B$
Interseção	$\cap$	A interseção de dois conjuntos $A$ e $B$ é o conjunto $A \cap B$ composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos $A$ e $B.$	$A \cap B$
Diferença	$\setminus$ ou $-$	A diferença $A \setminus B$ (ou $A$ $-$ $B$ ) entre dois conjuntos $A$ e $B$ é o conjunto dos elementos que pertencem a $A$ e que não pertencem a $B.$	$A \setminus B$

Conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.

Números naturais são usados para contar. O símbolo $\mathbb{N}$ usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo $\mathbb{P}$ usualmente representa este conjunto.
Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo $\mathbb{Z}$ usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo $\mathbb{Q}$ usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ usualmente representa este conjunto.
Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo $\mathbb{A}$ ou $\bar{\mathbb{Q}}$ usualmente representa este conjunto.
Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo $\mathbb{R}\setminus\mathbb{A}$ usualmente representa este conjunto.
Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo $\mathbb{R}$ usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo $\mathbb{I}$ ou $i \mathbb{R}$ usualmente representa este conjunto.
Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: $r + si.$ O símbolo $\mathbb{C}$ usualmente representa este conjunto.
Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: $r + si + tj + uk.$ O símbolo $\mathbb{H}$ usualmente representa este conjunto.
Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo $\mathbb{O}$ usualmente representa este conjunto.
Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz $\jmath^2 = 1$ e $\jmath \neq \pm 1.$ Os números complexos hiperbólicos são da forma $r + s\jmath.$ Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo $\mathbb{R}^{1,1}$ usualmente representa este conjunto.
Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos $\mathbb{Z}_p$ usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.

Tipos de números

Os números podem ser classificados em conjunto de números que vem a ser uma coleção de elementos
Diferentes tipos de números podem ser digitados por dois métodos diferentes, pelo método construtivista ou através de axiomas. Pelo método construtivista é introduzido tipos diferentes de números através da construção de um conjunto de elementos. Pelo método axiomático é adotado um conjunto de postulados a partir dos quais e por dedução lógica, são demonstrados teoremas.

$\mathbb{C} \mbox{ Complexos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reais} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionals} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Inteiros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturais} \\ & \mbox{Inteiros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fracionários} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionais} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginários} \end{cases}$

Exemplos de diferentes tipos de números:

Conjunto de números
$\mathbb{N}$	Natural	0, 1, 2, 3, 4, ... ou 1, 2, 3, 4, ...
$\mathbb{Z}$	Inteiro	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
-	Inteiro positivo	1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb{Q}$	Racional	^a⁄_b aonde a e b são inteiros e b é diferente de zero
$\mathbb{R}$	Real	Limite de uma sequência de números racionais convergentes
$\mathbb{C}$	Complexo	a + bi aonde a e b são números reais e i é a raiz quadrada de −1

Número complexo

Um número complexo é um número $z$ que pode ser escrito na forma $z = x + iy$ , em que $x$ e $y$ são números reais e $i$ denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade $i^2 = -1$ , sendo que $x$ e $y$ são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de $z$ .O conjunto dos números complexos, denotado por $\mathbb{C}$ , contém o conjunto dos números reais.
Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.

Número real

O conjunto dos números reais $\mathbb{R}\,$ é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.
Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos).

Número racional

É todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros.
O conjunto dos números racionais (representado por Q, o uso da letra Q é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros, com o denominador diferente de 0).

Número inteiro

São constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e dos simétricos dos números naturais não nulos (-1, -2, -3, ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, estes números são chamados de inteiros relativos.
O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z em negrito (ou ainda um $\mathbb{Z}$ em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.
Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Número natural

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3,...). O número natural também é definido como um número inteiro positivo, aonde o zero não é considerado como um número natural. Quando o símbolo dos números naturais (N) vier seguido de um asterisco (*) é retirado o 0 (zero).

Número inteiro negativo

Número negativo é todo número real menor que zero, como o −1 e o −3. Dois números são chamados de números simétricos quando estão à mesma distância do zero, como o −5 e o 5.

Número fracionário

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. Número fracionário expressa esta condição. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", "quebrado" (do verbo frangere: "quebrar").

Número irracional

Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo $\,\!\mathbb{I}$ .O conceito de número irracional remonta ao conceito de incomensurabilidade.
A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras.

Número imaginário

Número imaginário é um número complexo com parte real igual a zero, ou seja, um número da forma b i, em que i é a unidade imaginária. Em alguns contextos, exige-se que b seja diferente de zero. O termo foi inventado por René Descartes em 1637 no seu La Géométrie para designar os números complexos em geral, e tem esse nome pelo objetivo inicialmente pejorativo: na época, acreditava-se que tais números não existissem .

Outros números

Número excessivo ou abundante: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é maior do que ele mesmo (p. ex.: 12).
Número perfeito: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é igual a ele mesmo (p. ex.: 6).
Número defectivo ou deficiente: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é menor do que ele mesmo (p. ex.: 10).
Número levemente imperfeito: número cuja soma de seus divisores é o próprio número menos a unidade (p. ex.: 4, 8, 16, 32, $2^n$ ).
Números amigáveis: são dois números cuja soma dos divisores de um resulta no outro e vice-versa. Pares amigáveis: 220 e 284, 1184 e 1210, 17296 e 18416, 9363584 e 9437056.
Números sociáveis: grupo de três ou mais números que formam um círculo fechado, pois a soma dos divisores do primeiro forma o segundo e assim por diante até que a soma dos divisores do último forma o primeiro (p. ex.: 12496, 14288, 15472, 14536 e 14264).
Número primo: é um número natural que tem exatamente dois divisores distintos: o número um e ele mesmo.
Número ordinal: são números usados para assinalar uma posição numa sequência ordenada. Exemplos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto etc.Dauben, J.W.. Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite. New Jersey: Princeton University Press, 1979., pp. 156−159.</ref>.
O número 26 é o único que existe que se encontra entre um quadrado (25 = $5^2$ ) e um cubo (27 = $3^3$ ) (provado por Pierre de Fermat).
O número 69 é o único que existe cujos algarismos que compõem seu quadrado ( $69^2$ = 4761) e seu cubo ( $69^3$ = 328509) formam todos os números entre 0 e 9 sem repetição.
O número de Skewes (10^10^10^34 = 10^10^10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000) é um dos maiores números que já serviram a algum propósito em Matemática (na fórmula de Gauss). O número de Graham, ainda maior, aparece em problemas de combinatória.

Fonte: Wikipédia

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